понеделник, 22 юли 2013 г.

Геометричната алхимия на Платон (Тимей 53С-61С)

Когато човек за почивка оставя настрана разсъжденията за вечните същност и изпитва безобидно удоволствие като разглежда вероятните схващания за произхода на нещата, той би си създал в живота умерена и разумна забава. (Тим.59d)


Платон изглежда сам някакси допуска неговите непреходни трудове да бъдат фриволно употребявани, а несъмнено именно прословутият Тимей е особено подходящ за подобна цел. Един развлекателен прочит би следвало да отбягва общи места като проблемите за автентичност, за отношението Платон - Аристотел – традицията и прочие, неща, вероятно също толкова досадни за четене, колкото и за писане.

'Алхимията' на Платон в първо приближение може да бъде извлечена от три-четири страници и по-нататък да се сведе, примерно, до две основни твърдения:
1 Леките елементи (вода, въздух, огън) се превръщат един в друг.
2 Земята не се превръша в друго, а само участва в смесвания, в които има стабилизиращ ефект.
Ключовият въпрос за превръщането на металите, което собствено вълнува алхимиците, има недвусмислен отговор: то е невъзможно.
Още тук бие на очи разликата с повечето класически разбирания за четирите елемента: според Платон, между тях няма симетрично отношение. Структуралистки възгледи, дори съвсем примитивни, обясняват как от две последователни двойки опозиции се получават четири определения (00 01 10 11), които да бъдат кръстени с подходящи имена. В случая това ше са качестава, топло/студено, леко/тежко, сухо/влажно и пр.<1>, а имената – земя, вода, въздух, огън. Платон видимо е тръгнал по друг път и се уповава на своята математика. На четирите елемента съответстват четири правилни тела (куб, икосаедър, октаедър, тетраедър). Достъчно явно е различието на куба от другите три - те са 'делтаедри', състоят се от равностранни триъгълници, а той единствен - от четириъгълници. Това различие се тушира донякъде чрез разлагането на квадрата в триъгълници, което Платон прави, като предпочита и по-симетричното разделяне на квадрата - на четири, а не на два, правоъгълни триъгълника. Като по-нататъшна стъпка, без други аргументи, освен 'естетически', той приема, че и равностранните триъгълници в многостените "реално" се състоят от правоъгълни триъгълници, макар и от друг вид. Медианите в един равностранен триъгълник го поделят на 6 еднакви по вид части, правоъгълни триъгълници, които Платон описва най-напред чрез питагорова характеристика, казвайки, че квадратите на катетите са като 3:1 (54b). Тази геометрия дава лесен аргумент, защо земният елемент не се превръща в друг: от подреждане на равнобедрени правоъгълни триъгълници трудно се образува друг вид триъгълници; напротив от разностраните 3:1 триъгълници може да се направи равностранен. Субелементарната структура в стените на полиедрите обаче не играе по-нататък експлицитна роля в Тимей.
Превръщанията, които Платон описва, са аритметично напълно очевидни:
*От две части огън се получава една част въздух .
*От две части и половина въздух се получава една част вода. (56е)
Или 2х4=8 и 2.5х8=20; казано геометрически - от стените на два четиристена може да се направи осмостен; от стените на два и половин осмостена може да се направи двайсетостен. Запазването на броя стени e принципно, тъй като при директно слепване на два тетраедъра, полученото тяло, триъгълна бипризма, би било неправилно: едните върхове ще обединяват три стени, другите – четири. Анихилацията, потъването на две стени в обема, видимо е също така неприемлива, както и появата на нещо ex nihilo.
Преди задълбояването в подробности от алхимията може би си струва едно отклонение към самите тези тела, станали известни като «платонови». Те битуват в питагорейската традиция, като по времето на Платон Теетет ги е разглеждал по-внимателно и вероятно той му ги е разяснил. Но в този контекст се натрапва особено настойчиво името на Филолай, за когото се твърди, че от по-рано е знаел и отъждествяването им с елементите, включително това на космоса с додекаедър<2>. По този последен пункт обаче Платон е свръх лаконичен и единствено споменава, неговото изпозване за изрисуване (диазографеин) на цялото (пан) (55е). С Ксенократ идва и oтъждествяването с предполагаемия пети елемент, ефир/етерът<3>, който запълвал небесата и за който ще се твърди, че няма 'обратен'. Действително, ако четирите елемента са двойки противположности, маркирани с 0 и 1, лесно се изнамират техните 'обратни'. В средновековната алхимия петият елемент, квинтсенция, ефир или направо златото, са определяли със същия изключваш похват.
Без да споменава «течното сребро» (или 'живак'), Платон приема, че металите са прояви на водния принцип - те представляват икосаедри; както се рзбира, сортирането им по големина е това, което ги отличва един от друг. Водата се стои от най-малките и подвижните, златото - от големите. Никъде не се среща дори намек, че триъгълниците, изграждащи всичко, биха могли да променят големината си, така че да се реализира някакво 'алхимическо' превръщане. Платон разяснява по-обстойно съчетаването на земята с останалите елементи, и в това може да се разчете аналог на идеята за 'фиксиране'. Според класическата алхимия, за да се получи злато, е нужно подвижният метален принцип да се свърже подходящо със сяра, приемайки стабилна форма. Предположението, че земният принцип е в кубичността, прави подобна идея съвсем нагледна, макар и по по-друг начин. Освен че могат да изпълват плътно, без промеждутъци, пространството, кубовете, дори само струпани, изграждат една маса която изглежда доста стабилно. Онагледяването, разбира се, предполага обичайните условия, при които е познато поведението на веществото - триене, тежест и пр.
Алхимическите идеи за фиксиране на живака датират от много по-късни времена. При това средновековната дисциплина първоначално е аристотелианска, дошла през арабски източници. В учените среди логиката е на особена почит, а Платоновата система, с липсата на симетрия между четирите елемента, дори не изглежда логично. Доста скоро в обръщение обаче влизат редица трактати, които се определят, поне по заглавие, като 'Платонови' – известни са няколко различни Liber Platonis<4>. Къде и колко платонизъм има преди ренесанса е трудно да се реши, още повече когато латинският свят познава само началото на Тимей; преводът, останал от Халцидий, свършва точно преди изложението на геометричните спекулации, които стават достъпни едва с преводите на Фичино. Но тогава Ренесансът се оказва нещо като информационен потоп и всеки плува, доколкото може, като намира връзки и обяснения, според способностите си. Йохан Тритемий, един от типичните ренасансови многознайковци, нарича алхимията «астрономия инфериор». Кеплер по нататък използва петте тела за да обясни структурата на слънчевата система. Когато се разбира, че и Земята е планета, пространственото поделяне горе/ долу губи актуалност като обяснителен принцип.
Отличието на Платоновата система може би не е точно това, което бие на очи. Действително, ако чрез две последователни дихотомии се генерират 4 елемента в една система, то оставането при три обикновено издава, че, приложена към един от първите два, по-следващата дихотомия не е смислена. Така ако се предположи, че универсумът на Платон първоначално - и логично - е разделен на непроменлива и променлива част, то в първата ще са додекаедърът и кубът, а във втората – останалите форми. Додекаедърът е напълно непроменлив и неразложим<5>, докато кубът все пак се разлага на правоъгълни триъгълници - това е случаят с лавата, земята под временното действие на огъня. В променливия дял са делтаедрите, именно те се превръщат от една форма в друга, едни загиват, за да се породят други. Това, че те са от три разновидности, в Тимей остава просто като факт <6>. Платон принцино отхвърля подялбата горе/долу - в един сферично симетричен свят, както той изтъква, те наистина нямат смисъл (62c), за разлика от подялбата център/периферия. Тогава неговата вселена се очертава така: при центъра - земният принцип, кубовете, променящи се, но самотъждествено; около него - взаимопревръщащите се делтаедри и още по-нататък - всеобхватната периферия, мястото на додекъедъра, удържащ едно динамично постоянство, самят той напълно непроменлив.
Интерпретативната изобретателност идва след приемането на странния факт, че се търси някаква аналогия между системите на петте тела и на четирите елементи, макар да е очевидно, че корелирането им едно-към-едно е невъзможно, а двете прости решения, с премехване или добавяне, сякаш са еднакво неудовлетворителни<7>. Историцизмът може да конструира прост отговор – примерно, че Платон е получил на готово идеята и се е опитвал да я оправдае, независимо дали в първоначалната й формулиравка са били включвани имало само четири или всички пет тела.
Доказателството, че освен известните пет еднообразни изпъкнали многостени – такава е по-строгата експликация на прилагателното ‘платонови’<9> – други няма, не е прекалено сложно. То е канонизирано като Финал на Евклидовите Елементи и в това, отчитайки избора на заглавието, може да има умисъл.
Петте платонови тела, както в един момент е било установено, имат още едно интересно свойство: ако се изберат точките в центровете на стените на някое от тях, при свързването им се очертава пак платоново тяло. Този вид превръщаемост обаче е твърде ограничен, доколкото се получават две дуални двойки и остава тетраедърът, който е дуален на себе си. Безспорно обаче тази структурираност напомня идеята, че четирите елемента имат обратни, а петият – не.
Отграничаването на петте ‘платонови’ тела като клас също не е така непосредствено: кубоктаедърът, въпреки варварското си име, би могъл съвсем пълноправно да стои между четирите тела, приети за елементите. Хибрид между куб и октаедър, той се схваща може би най-лесно като изрязване на върховете на куб до средата на ръбовете. Не е трудно да се съобрази и по-нататък, че същата операция приложена към окатедъра дава същото тяло. Освен че тази перспектива изглежда алхимично, според едно свидетелство Платон е бил запознат и с тази конструкция<10>. Трите архимедови тела, стоящи резонно между куба и октаедъра, загатват за трудно обозрими усложнения, които заплашват да погълнат простоватият свят. При нестрогите аргументи, в които тече дискурсът на Тимей, с малко въобръжение и без никакво насилие всичко би могло да се окаже съвсем друго.


+ a different english version.pdf here


Бележки

<1> Вж Аристотел За пораждането и загиването (330b)
<2> Авъл Гелий предава, че Тимон (Флионтски) обиждал Платон твърдейки, че бил платил скъпо за някаква питагорейска книжка, от която преписвал за своя Тимей (Атически Нощи III.17). Почти сигурно авторът й ще е бил Филолай, но пък не е сигурно дали визираният е Платон, а не неговият племенник, Спевсип, който оглавил Академията. В Аритметически теологумени, съчинението с неизяснено авторство, се споменава именно за Спевсип, че “съставил елегантна книжка от питагорейски писания, които били особено ценени тогава, и особено от тези на Филолай; озаглавил я За питагорейските числа: в първата половина изложил изящно простите числа, многоъгълните и всички видове плоски числа, обемните и петте вида фигури, които са са приписани на елементите във вселената (За декадата). Аеций предава сведенията за Питагор, дошли през филолай: «за петте вида твърди тела, които се наричат също 'математически', от куба, който е квадратно тяло със шест стени, е направена земята; от пирамидата – огъня; от тялото с осем стени – въздуха, от искосаедъра, който е с 20 стени – водата и от додекаедъра, който е тялтот с 12 стени, върховната сфера ба вселената. Платон дори в това мнение следва Питагор» (За мненията на философите, кн. II гл.6.3).
<3> В Тимей (58d) Платон споменава 'етер'/ефир, «който е най-прозрачният въздух» – с което ще го определи и като октаедър.
<4> Singer D. W., Alchemical treatises bearing the name of Plato, Ambix (1946)p. 115
<5> По-късни коментатори са спекулирали как петоъгълниците са изградени от правоъгълни триъгълници: Alcinous, The Handbook of Platonism (ed. Dillon, J. M., Oxford University Press, 1995) c11; Plutarch, The Morals: Platоnic Questions V, (vol. 5 1878); De defectu oraculorum, c33, 428A; вж. Heath G., History of Greek Mathematics, Oxford 1921, vol.1, p. 296. В този спекулативен дух би могло да се предложи, че те се състоят от по пет двойки триъгълници, чиито ъгли са 5:3:2 Така те ще са в логичната подредба 2:1:1, 3:2:1, 5:3:2, известна като редицата на фибоначи; Плутарх напомня за топката от 12 части, а така додекаедърът е упоменат и във Федон (110В), диалог който мимоходом споменава името на Филолай
<6> При все че сигурно може да бъде измислено по-нататъшното логическо структуриране до три, едно градиране повече/по-малко вече генерира от стандарта, нулата, две отклонения; вж също Аристотел, цит. съч. 330b15
<7> Една странична хипотеза предлага, че пасажът 55C–D за ‘петте свята’, които се оказват един, имплицира комбинаторно изброяване на групираните по четири пет тела: само едно се оказва удачно, вж. Paparazzo E. (2011), Why Five Worlds? Plato's Timaeus 55C–D, Apeiron. Vol.44, Iss. 2, р. 147–62
<8> Проницателно е наблюдението на Котрц, че додекаедърът е космос, защото от двадесетте му върха лесно се отделят осем (20-6х2), които да оформат куб, и от тях 4, които да задават тетраедър т.е. ходът петоъгълник, квадрат, равностранен триъгълник (а превръщанията от разложен тетраедър именно бяха описани); Kotrc R., The Dodecahedron in Plato’s Timaeus, Rheinisches Museum fur Philologie. n.s.: 124:3/4 (1981) 212
<9> Исторически находки недвусмислено свидетелстват, че петте правилни тела са известни дълго преди класическите цивилизции, вж. Lloyd D. R, How old are the Platonic Solids?, J. of the British Society for the History of Mathematics, 27:3, (2012), 131-140. Отеделянето им като обособен клас е несъмнено гръцко постижение, но остава неясно какви други интересни многостени (архимедови, каталанови, звездообразн и пр.) са известни по това време.
<10> Хийт споменава за това като мнение на Архимед предадено от Херон, вж. Heath G., History of Greek Mathematics, Oxford 1921, vol.1, p. 295. Ако отрязването е също така неприемливо както слепването, нищо не пречи кубоктаедърът да се опише като тялото, породено от срещането във всеки негов връх на два квадрата и един равностранен триъгълник.

[+/-] Show Full Post...